1、线性回归

线性回归是最基本的回归方法，它假设特征和目标变量之间存在线性关系，并试图找到一个线性方程来最好地描述这种关系。线性回归通过最小化误差的平方和（即最小二乘法）来估计模型参数。公式代码如下，

import numpy as np

# 生成数据
X = np.random.rand(100, 2)
y = 2 * X[:, 0] + 3 * X[:, 1] + 1 + np.random.randn(100, 1)

# 添加偏置项
X = np.hstack((np.ones((100, 1)), X))

# 计算系数
w = np.linalg.inv(X.T @ X) @ X.T @ y

# 预测
y_pred = X @ w

# 评估性能
mse = np.mean((y_pred - y)**2)

print("MSE:", mse)

Python的scikit-learn库中，LinearRegression类是用于进行线性回归的一个非常流行的工具。这个类实现了一个使用最小二乘法的线性模型，可以用来预测目标值。常用参数如下，

使用代码：

from sklearn.datasets import load_diabetes
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import numpy as np

# 加载糖尿病数据集
diabetes = load_diabetes()
X, y = diabetes.data, diabetes.target

# 划分数据为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# （可选）使用StandardScaler进行数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
X_test_scaled = scaler.transform(X_test)

# 初始化LinearRegression模型
# 注意：由于已经手动进行了数据标准化，这里的normalize参数将保持为False（它的默认值）
lr = LinearRegression(fit_intercept=True, copy_X=True, n_jobs=None, positive=False)

# 使用训练集训练模型
lr.fit(X_train_scaled, y_train)

# 使用测试集进行预测
y_pred = lr.predict(X_test_scaled)

# 评估模型性能
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = r2_score(y_test, y_pred)

print(f"模型的均方误差(MSE): {mse:.2f}")
print(f"模型的R^2分数: {r2:.2f}")

参考文档：Python 机器学习 线性回归算法

2、岭回归

岭回归（Ridge Regression）是线性回归的一种改进，主要用于处理特征之间存在多重共线性的情况。多重共线性意味着输入特征之间高度相关，这可能会导致线性回归模型的参数估计非常不稳定，使模型过于敏感于训练数据中的随机误差。公式代码如下，

import numpy as np
from numpy.linalg import inv

def ridge_regression(X, y, lambda_):
    """
    岭回归实现
    :param X: 特征矩阵，shape (n_samples, n_features)
    :param y: 目标变量，shape (n_samples,)
    :param lambda_: 正则化系数
    :return: 岭回归系数
    """
    # 增加一个维度以便能够计算截距项
    X = np.hstack([np.ones((X.shape[0], 1)), X])
    
    # 计算系数 (w)：(X^T X + λI)^(-1) X^T y
    I = np.eye(X.shape[1])  # 单位矩阵
    w = inv(X.T.dot(X) + lambda_ * I).dot(X.T).dot(y)
    
    return w

# 示例数据
X = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
y = np.array([1, 2, 3])
lambda_ = 1  # 正则化系数

# 岭回归计算
coefficients = ridge_regression(X, y, lambda_)
print("岭回归系数:", coefficients)

Python的机器学习库scikit-learn中，岭回归是通过Ridge类实现的。岭回归（Ridge Regression）是一种用于多元回归的技术，尤其适用于当数据点比变量少或存在多重共线性（即输入变量高度相关）的情况。通过引入正则化项（L2惩罚项）来限制参数的大小，从而避免过拟合，提高模型的泛化能力。常用参数如下，

使用代码，

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_diabetes
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 2. 加载糖尿病数据集
X, y = load_diabetes(return_X_y=True)

# 3. 分割数据集为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 3.5 对数据进行标准化处理（可选，但推荐）
scaler = StandardScaler()
X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
X_test_scaled = scaler.transform(X_test)

# 4. 初始化Ridge回归模型并设置参数
ridge_reg = Ridge(alpha=1.0, fit_intercept=True, solver='auto', random_state=42)

# 5. 训练模型
ridge_reg.fit(X_train_scaled, y_train)

# 6. 评估模型性能
y_pred = ridge_reg.predict(X_test_scaled)
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print(f"Mean Squared Error: {mse}")

3、线性回归和岭回归对比

线性回归和岭回归都是用于数据分析和预测的回归方法，主要区别在于处理多重共线性和正则化的方式，线性回归适用于变量之间不存在或较少共线性的情况。岭回归适用于变量之间存在高度共线性或者当你需要通过正则化来防止过拟合的情况。当数据集较小，变量之间相对独立时，可以优先考虑使用线性回归。当面对高维数据（特征多）或特征之间存在多重共线性时，岭回归是一个更好的选择，因为它可以提高模型的稳定性和泛化能力。通过引入正则化项，岭回归不仅解决了多重共线性问题，而且还有助于提高模型在未知数据上的预测能力，是处理复杂数据集的有力工具。