1、理解EM算法
EM算法（Expectation-Maximization）是一种迭代优化技术，主要用于参数估计问题，特别是在统计模型中存在未观察到的隐变量或数据不完整时。通过交替执行两个步骤——期望步（E步）和最大化步（M步）——EM算法逐步改进对参数的估计。在E步，算法计算当前参数估计下隐变量的期望，相当于对隐变量进行一个“软”分配；而在M步，根据E步的结果更新参数，以最大化观测数据的似然函数。这个过程类似于“猜测-验证”，不断迭代以改进参数估计，直到收敛。
EM算法的优势在于其广泛的适用性和对隐变量处理的灵活性，能够保证似然函数的值在迭代过程中不减少，从而确保收敛性。然而，算法可能收敛到局部最大值，并且初始化参数的选择、迭代停止的标准等实践中的问题需要特别注意。EM算法在高斯混合模型（GMM）、聚类、分类以及缺失数据处理等多个领域有着广泛应用，尽管面临挑战，其在处理含隐变量的复杂问题中的有效性仍被广泛认可。
2、scikit-learn
Python中，使用scikit-learn库可以通过高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）来实现期望最大化（Expectation-Maximization, EM）算法。GaussianMixture类提供了使用EM算法估计参数的功能，适用于聚类和密度估计等任务。
1）安装命令
pip install scikit-learn
2）导入所需模块
from sklearn.mixture import GaussianMixture from sklearn.datasets import make_blobs import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np
3、数据集
Scikit-learn 的 EM 算法通常用于聚类分析，比如使用高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）。糖尿病数据集（Diabetes Dataset）是 Scikit-learn 库中的一个标准数据集，用于回归分析。尽管这个数据集通常用于回归任务，可以尝试使用 EM 算法对其进行聚类分析，从而发现数据中潜在的模式或组别。数据集包含了442个病人的10个基线变量，目标变量是一年后疾病进展的量化度量。这些基线变量包括年龄、性别、体质指数、平均血压和六个血清测量值。Python 的 scikit-learn 库中，可以直接加载并使用这个数据集。
糖尿病数据集的特征：
特征 | 描述 |
年龄 (age) | 年龄 |
性别 (sex) | 性别 |
体质指数 (bmi) | 体质指数 |
平均血压 (bp) | 平均血压 |
S1 (总血清胆固醇) | 总血清胆固醇 |
S2 (低密度脂蛋白胆固醇) | 低密度脂蛋白胆固醇 |
S3 (高密度脂蛋白胆固醇) | 高密度脂蛋白胆固醇 |
S4 (总胆固醇 / 高密度脂蛋白胆固醇) | 总胆固醇 / 高密度脂蛋白胆固醇 |
S5 (血清甲状腺素水平的对数) | 血清甲状腺素水平的对数 |
S6 (一年后的血糖水平) | 一年后的血糖水平 |
使用代码，
from sklearn.datasets import load_diabetes
import numpy as np
# 加载糖尿病数据集
X, y = load_diabetes(return_X_y=True)
# 查看数据维度
print("特征集维度:", X.shape)
print("响应变量维度:", y.shape)
# 打印前5个样本的特征和目标值，以便观察数据
print("前5个样本的特征:\n", X[:5])
print("前5个样本的目标值:", y[:5])5、使用EM算法聚类分析
Scikit-learn 的 EM 算法通常用于聚类分析，比如使用高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）。糖尿病数据集（Diabetes Dataset）是 Scikit-learn 库中的一个标准数据集，用于回归分析。尽管这个数据集通常用于回归任务，可以尝试使用 EM 算法对其进行聚类分析，从而发现数据中潜在的模式或组别。使用 Scikit-learn 的 GaussianMixture 类在糖尿病数据集上应用 EM 算法。常用参数如下，
| 参数名 | 描述 |
|---|---|
n_components | 模型中的组件数 （即高斯分布的数量，也可以理解为聚类的数量）。 默认值为 1。 |
covariance_type | 协方差参数类型。 可选值有 'full'（每个组件有自己的一般协方差矩阵）、 'tied'（所有组件共享一个协方差矩阵）、 'diag'（每个组件有自己的对角协方差矩阵）、 'spherical'（每个组件的协方差矩阵是由单个方差组成，假设特征之间不相关）。默认值为 'full'。 |
random_state | 随机数生成器的种子。 用于结果的可重现性。如果为 None，则随机数生成器是 np.random使用的RandomState实例。默认值为None。 |
tol | EM算法的收敛阈值。算法会停止迭代， 如果在两次迭代之间的对数似然下降小于此阈值。 默认值为 1e-3。 |
max_iter | EM算法的最大迭代次数。默认值为 100。 |
n_init | 初始化次数。算法会运行n_init次，并选择具有最大似然的结果。默认值为 1。 |
init_params | 参数初始化方法。 可选值有 'kmeans'（使用k-means算法初始化）和 'random'（随机初始化）。默认值为 'kmeans'。 |
使用代码，
from sklearn.datasets import load_diabetes
from sklearn.mixture import GaussianMixture
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 加载糖尿病数据集
X, y = load_diabetes(return_X_y=True)
# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)
# 应用高斯混合模型聚类
n_components = 2 # 假设我们想要将数据聚类为2个组
gmm = GaussianMixture(n_components=n_components, random_state=0)
gmm.fit(X_scaled)
# 预测每个点的簇标签
labels = gmm.predict(X_scaled)
# 可视化结果（选择前两个特征进行可视化）
plt.scatter(X_scaled[:, 0], X_scaled[:, 1], c=labels, cmap='viridis')
plt.xlabel('Feature 1')
plt.ylabel('Feature 2')
plt.title('Cluster assignment with GMM')
plt.draw()
plt.show()